The Arrow Impossibility Theorem – Eric Maskin and Amartya Sen

拖了幾個星期,見香港區議會選舉建制慘敗,鬆了一口氣後,才有心情寫這篇書評,討論一下阿羅不可能定理 (Arrow’s Impossibility Theorem) 這個民主的悖論 (Arrow’s Impossibility Theorem 又被稱為 “Arrow’s Paradox”) 。

自從反送中運動以來,據我在網絡平台罵戰的觀察,一般港人不論藍絲或黃絲,都不會質疑民主制度的必然合理性。不似一些被中共洗腦的小紅粉(有港人,也有海外華橋,不過以大陸人居多),會說香港今天的亂局,正好印證民主制度的失敗, 所以中共的極權專政比民主優勝云云。事實上今天亂局的主要成因,正正是因為香港沒有真正的民主。

大部份小紅粉蠻不講理思路混亂,純萃絡網曱甴,不用浪費時間理他們。偶然有些偽知識份子小紅粉,竟膽敢挪用「阿羅不可能定理」,宣稱世上沒有完美的民主投票方法,從而偷換慨念,說民主制度不可取。我可以寫包單任何打著「阿羅不可能定理」旗號反對民主的人,肯定沒有看原著理論,仍人格誠信破產的騙徒。(提外話,若果見到有人用「甲>乙>丙>甲」的循環排名去講「不可能定理」,那個人肯定無料到,兼嚴重誤解「阿羅不可能定理」。循環排名那個是Condorcet悖論,十八世紀已經提出來,「阿羅不可能定理」覆蓋的範圍更廣笵。)

這本《The Arrow Impossiblity Theorem》,收錄了兩位諾貝爾經濟學家Eric Maskin和Amartya Sen於哥倫比亞大學關於「阿羅不可能定理」的演講,連同寫引言(opneing remarks)的Joseph Stiglitz和寫評述及感言的主角Kenneth Arrow(阿羅本人是也),這本書的作者有四位諾貝爾經濟學家,全部都是學術巨星,可謂星光熠熠。Sen的演講部份主要是論證「阿羅不可能定理」,定理本身不太難明白,只是很基礎的數學推論。Maskin的演講則論證majority rules投票方法在大多數的現實情況下,能夠滿足阿羅提出的四個條件,把不可能變成可能。薄薄一本百五頁的小書,深入淺出地把「阿羅不可能定理」解釋清楚。

說了這麼久,那麼「阿羅不可能定理」到底是什麼東西呢?Arrow原本是研究公司如何運作的經濟學家,用數學去論證股東如何投票作出商業決策,結果他的理論同樣適用於民主選舉。Arrow理論中的民主選舉,是一個為學術討論而設想的完美選舉,沒有種票,DQ候選人,假地址投票,蛇齋餅糭買票等現實問題。簡單來說,就是有一群人有幾個不同選項,每個人心中排列選項的優先次序不同,如何在眾選項中挑選出最多人滿意的選項;而何謂最多人滿意,是指投票的結果必需合乎以下四個原則。

  1. 投票選項排名沒有限制 Unrestricted Domain (U)
    在「阿羅不可能定理」中,投票並非常見只能選擇一個選項的投票方式,而選民必須把所有選項按優先次序排名。(U)是指選民投票時排名沒有任何限制,在得出來共識的排名亦沒有任何預設的限制時,必定存在一種點票的計算方法,能總結歸納出一個(只有一個)明確是投票者共識的選項排名。假若選民選票中的選項沒有改變,只有點票方法改變(如分組點票),卻導致不同的選舉結果,那就違返(U)的原則了。點票的計算方法在定理中稱之為”social welfare function”,簡單來說就是一條數學公式,把所有選民的投票輸入,計算出投票者共識排名的答案。阿羅指出必需有這樣一條公式的存在,但沒有明言公式計算的方法。現實中有好幾個點票方式,能夠乎合(U)的原則,不過更多的情況卻是違反(U)的原則,例如北韓預知結果的選舉,又或者功能組別分組點票等。
  2. 無關選項不影響結果 Independence of Irrelevant Alternatives (I)
    任何兩個選項排名的共識的計算,只能來自選民關於那兩個選項的排名,選民關於其他無關的選項的排名,不會影響那兩個選項的結果。若果選舉的結果是「甲>乙」,不會有為出現第三個選項「丙」,讓選舉結果變成「乙>甲」。舉個例子:香港區議會選舉,假若一區只有兩個候選人,不論「泛民對建制」或「本土對建制」,「建制」都一定會輸;可是當同時出現三個候選人,「本土」和「泛民」互相分薄票源,結果「建制」執死雞勝出,俗稱「鎅票」 。香港區議會選舉的單議席單票制,就違反了(I)這個原則了。
  3. 選舉結果要如實反映民意 Pareto Principle (P)
    若果所有選民都選擇「甲>乙」,那麼選舉結果不可能出現「乙>甲」。這是一個純數學上的原則,除非選民人數很少,在現實中不可能出現所有選民對「甲」和「乙」兩個選項的排名都相同,這個原則可以理解為點票方式最基本的測試。要得記「阿羅不可能定理」中,選舉結果並不只有一個贏家,選民投票是所有選項的排名,共識的結果也是所有選項的排名。舉個例子,選票中有「甲乙丙丁」四個選項,有假定所有人都選擇「甲>乙」(如「丙>甲>丁>乙」或「丁>丙>甲>乙」等等),那麼如果點票方式會出現「乙>甲」共識的結果,那就違反了(P)這個原則了。
  4. 沒有一個人可以左右選舉結果 Nondictatorship (D)
    「阿羅不可能定理」中的”dictatorship”不單是指字面定義的獨裁者(如習帝),還包括某些點票方式,令某人手握決定性的一票,可以左右最終的選舉結果,不論其他選民如何選擇。原版「阿羅不可能定理」中「獨裁者」的定義是只有一個人,嚴格上獨裁集團(例如特首選委會小圈子選舉)並沒有違反(D)的原則,後來其他政治學者和經濟學者就這個問題補完(D)的論述。

每個原則獨立來看,皆是公平選舉不可缺少的要素。但Arrow以他的不可能定理指出,數學上四個原則不可能同時並存,所以不存在公平的民主制度。因為篇幅所限,我不在此複述「阿羅不可能定理」的證明,有興趣的讀者可以自己看,簡來來說是(U)(I)(P)並存就必定會產生(D)。

Maskin在書中的推論則指出,在現實中(U)並不需要,因為選民的投票意願,通常會按政治光譜作出排名。若果考慮政治光譜的現實因素,收窄(U)原則以容許有某些排名限制,例如把政治光譜從左到右編排,預設選舉結果不可能出現不按政治光譜的胡亂排名(稱這收窄原則為「(U’)」)。如黃絲會排「本土>泛民>建制商界>建制土共」或「泛民>本土>建制商界>建制土共」,但絕不會出現「泛民>建制土共>本土>建制商界」的排例,同樣地藍絲亦不可能出現「建制土共>泛民>本土>建制商界」的排名。那麼,不可能定理就化為可能,因為有民主選舉制度能夠同時乎合(U’)(I)(P)(D)四項公平原則了。

下次當你聽到有人引用「阿羅不可能定理」去攻擊民主制度時,不要被他偽知識份子的包裝嚇到,你可以大大聲叫他收皮,然後叫他回家好好讀書,不要出來亂吠獻世。

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