文章刊登於立場新聞
拖了幾個星期，見香港區議會選舉建制慘敗，鬆了一口氣後，才有心情寫這篇書評，討論一下阿羅不可能定理 (Arrow’s Impossibility Theorem) 這個民主的悖論 (Arrow’s Impossibility Theorem 又被稱為 “Arrow’s Paradox”) 。
自從反送中運動以來，據我在網絡平台罵戰的觀察，一般港人不論藍絲或黃絲，都不會質疑民主制度的必然合理性。不似一些被中共洗腦的小紅粉（有港人，也有海外華橋，不過以大陸人居多），會說香港今天的亂局，正好印證民主制度的失敗， 所以中共的極權專政比民主優勝云云。事實上今天亂局的主要成因，正正是因為香港沒有真正的民主。
大部份小紅粉蠻不講理思路混亂，純萃絡網曱甴，不用浪費時間理他們。偶然有些偽知識份子小紅粉，竟膽敢挪用「阿羅不可能定理」，宣稱世上沒有完美的民主投票方法，從而偷換慨念，說民主制度不可取。我可以寫包單任何打著「阿羅不可能定理」旗號反對民主的人，肯定沒有看原著理論，仍人格誠信破產的騙徒。（提外話，若果見到有人用「甲>乙>丙>甲」的循環排名去講「不可能定理」，那個人肯定無料到，兼嚴重誤解「阿羅不可能定理」。循環排名那個是Condorcet悖論，十八世紀已經提出來，「阿羅不可能定理」覆蓋的範圍更廣笵。）
這本《The Arrow Impossiblity Theorem》，收錄了兩位諾貝爾經濟學家Eric Maskin和Amartya Sen於哥倫比亞大學關於「阿羅不可能定理」的演講，連同寫引言(opneing remarks)的Joseph Stiglitz和寫評述及感言的主角Kenneth Arrow（阿羅本人是也），這本書的作者有四位諾貝爾經濟學家，全部都是學術巨星，可謂星光熠熠。Sen的演講部份主要是論證「阿羅不可能定理」，定理本身不太難明白，只是很基礎的數學推論。Maskin的演講則論證majority rules投票方法在大多數的現實情況下，能夠滿足阿羅提出的四個條件，把不可能變成可能。薄薄一本百五頁的小書，深入淺出地把「阿羅不可能定理」解釋清楚。
說了這麼久，那麼「阿羅不可能定理」到底是什麼東西呢？Arrow原本是研究公司如何運作的經濟學家，用數學去論證股東如何投票作出商業決策，結果他的理論同樣適用於民主選舉。Arrow理論中的民主選舉，是一個為學術討論而設想的完美選舉，沒有種票，DQ候選人，假地址投票，蛇齋餅糭買票等現實問題。簡單來說，就是有一群人有幾個不同選項，每個人心中排列選項的優先次序不同，如何在眾選項中挑選出最多人滿意的選項；而何謂最多人滿意，是指投票的結果必需合乎以下四個原則。
- 投票選項排名沒有限制 Unrestricted Domain (U)
在「阿羅不可能定理」中，投票並非常見只能選擇一個選項的投票方式，而選民必須把所有選項按優先次序排名。(U)是指選民投票時排名沒有任何限制，在得出來共識的排名亦沒有任何預設的限制時，必定存在一種點票的計算方法，能總結歸納出一個（只有一個）明確是投票者共識的選項排名。假若選民選票中的選項沒有改變，只有點票方法改變（如分組點票），卻導致不同的選舉結果，那就違返(U)的原則了。點票的計算方法在定理中稱之為”social welfare function”，簡單來說就是一條數學公式，把所有選民的投票輸入，計算出投票者共識排名的答案。阿羅指出必需有這樣一條公式的存在，但沒有明言公式計算的方法。現實中有好幾個點票方式，能夠乎合(U)的原則，不過更多的情況卻是違反(U)的原則，例如北韓預知結果的選舉，又或者功能組別分組點票等。
- 無關選項不影響結果 Independence of Irrelevant Alternatives (I)
任何兩個選項排名的共識的計算，只能來自選民關於那兩個選項的排名，選民關於其他無關的選項的排名，不會影響那兩個選項的結果。若果選舉的結果是「甲>乙」，不會有為出現第三個選項「丙」，讓選舉結果變成「乙>甲」。舉個例子：香港區議會選舉，假若一區只有兩個候選人，不論「泛民對建制」或「本土對建制」，「建制」都一定會輸；可是當同時出現三個候選人，「本土」和「泛民」互相分薄票源，結果「建制」執死雞勝出，俗稱「鎅票」 。香港區議會選舉的單議席單票制，就違反了(I)這個原則了。
- 選舉結果要如實反映民意 Pareto Principle (P)
若果所有選民都選擇「甲>乙」，那麼選舉結果不可能出現「乙>甲」。這是一個純數學上的原則，除非選民人數很少，在現實中不可能出現所有選民對「甲」和「乙」兩個選項的排名都相同，這個原則可以理解為點票方式最基本的測試。要得記「阿羅不可能定理」中，選舉結果並不只有一個贏家，選民投票是所有選項的排名，共識的結果也是所有選項的排名。舉個例子，選票中有「甲乙丙丁」四個選項，有假定所有人都選擇「甲>乙」（如「丙>甲>丁>乙」或「丁>丙>甲>乙」等等），那麼如果點票方式會出現「乙>甲」共識的結果，那就違反了(P)這個原則了。
- 沒有一個人可以左右選舉結果 Nondictatorship (D)
「阿羅不可能定理」中的”dictatorship”不單是指字面定義的獨裁者（如習帝），還包括某些點票方式，令某人手握決定性的一票，可以左右最終的選舉結果，不論其他選民如何選擇。原版「阿羅不可能定理」中「獨裁者」的定義是只有一個人，嚴格上獨裁集團（例如特首選委會小圈子選舉）並沒有違反(D)的原則，後來其他政治學者和經濟學者就這個問題補完(D)的論述。
每個原則獨立來看，皆是公平選舉不可缺少的要素。但Arrow以他的不可能定理指出，數學上四個原則不可能同時並存，所以不存在公平的民主制度。因為篇幅所限，我不在此複述「阿羅不可能定理」的證明，有興趣的讀者可以自己看，簡來來說是(U)(I)(P)並存就必定會產生(D)。
Maskin在書中的推論則指出，在現實中(U)並不需要，因為選民的投票意願，通常會按政治光譜作出排名。若果考慮政治光譜的現實因素，收窄(U)原則以容許有某些排名限制，例如把政治光譜從左到右編排，預設選舉結果不可能出現不按政治光譜的胡亂排名(稱這收窄原則為「（U’）」)。如黃絲會排「本土>泛民>建制商界>建制土共」或「泛民>本土>建制商界>建制土共」，但絕不會出現「泛民>建制土共>本土>建制商界」的排例，同樣地藍絲亦不可能出現「建制土共>泛民>本土>建制商界」的排名。那麼，不可能定理就化為可能，因為有民主選舉制度能夠同時乎合(U’)(I)(P)(D)四項公平原則了。
下次當你聽到有人引用「阿羅不可能定理」去攻擊民主制度時，不要被他偽知識份子的包裝嚇到，你可以大大聲叫他收皮，然後叫他回家好好讀書，不要出來亂吠獻世。
